Árboles

Los árboles son estructuras de datos no lineales, donde cada elemento del árbol es una estructura del tipo nodo (node), y hace referencia a otros nodos dentro del árbol, las conexiones entre nodos se denominan aristas o ramas o arcos (edge).

Las estructuras del tipo árbol se usan principalmente para representar datos con una relación jerárquica entre sus elementos, como son árboles genealógicos, jerarquías y agrupaciones militares, dependencias de tareas, etc.

Un árbol A es un conjunto finito de uno o más nodos (n), tales que:

• Existe un nodo especial denominado raíz (n₀) del árbol.
• Los nodos restantes (n₁, n₂, …, n_n) se dividen en m >= 0 conjuntos disjuntos denominado A₁, A₂, …, A_m, cada uno de los cuales es, a su vez, un árbol. Estos árboles se llaman subárboles de la raíz.

La definición de árbol implica una estructura recursiva, es decir, un árbol es el conjunto de subárboles.

Definiciones sobre Árboles

Las definiciones a tener en cuenta son:

• Raíz del árbol, todos los árboles que no están vacíos tienen un único nodo raíz. Todos los demás elementos o nodos se derivan o descienden de él. El nodo raíz no tiene padre, es decir, no es hijo de ningún otro nodo.
• Nodo, son los vértices o elementos del árbol.
• Nodo terminal o nodo hoja, son los nodos que no contienen ningún subárbol.
• Nodo no terminal, todo nodo que no es hoja se asocia a uno o varios subárboles llamados descendientes o hijos. De igual forma, cada nodo tiene asociado un antecesor o ascendiente llamado padre. También se los conoce como nodos interiores o internos.

• Un árbol con ningún nodo es un árbol nulo o vacío; no tiene raíz.
• Todos los nodos tienen un solo padre, excepto el nodo raíz, que no tiene padre.
• Los nodos de un mismo padre se llaman nodos hermanos.

• Se denomina camino a una secuencia de nodos.
• Existe un camino de longitud 0 de un nodo a sí mismo que se conoce como camino trivial.
• Cada nodo tiene asociado un número de nivel que determina la longitud del camino desde el nodo raíz al nodo específico.
• Por cada nodo en un árbol, existe un camino único de la raíz a dicho nodo. La longitud de este camino es conocida como la profundidad o altura del nodo.
• La altura de un árbol es definida como la máxima profundidad de cualquier nodo del árbol. La altura de un árbol con un solo nodo es 0 (solo la raíz), mientras que la altura de un árbol vacío es –1, por conveniencia.

• El peso de un árbol es el número de nodos terminales.
• El grado de un nodo es definido como el número de sus hijos directos.
• Un nodo hoja tiene grado cero.
• Una colección de dos o más árboles se llama bosque.

Operaciones elementales sobre Árboles

• Insertar
• Eliminar
• Buscar
• Recorrer

Árbol Binario

Un árbol binario es un conjunto finito de cero o más nodos, tales que:

• Existe un nodo denominado raíz del árbol.
• Cada nodo puede tener 0, 1 o 2 subárboles, conocidos como subárbol izquierdo y subárbol derecho.

Un árbol binario es una especialización dentro de las estructuras del tipo árbol.

Árboles Binarios de Búsqueda

Un árbol binario de búsqueda, es un árbol binario que cumple que el subárbol izquierdo de cualquier nodo (si no está vacío) contiene valores menores que el que contiene dicho nodo, y el subárbol derecho (si no está vacío) contiene valores mayores, donde existe una relación de orden establecida entre los elementos de los nodos.

El árbol binario de búsqueda se construye teniendo en cuenta las siguientes premisas:

• El primer elemento se utiliza para crear el nodo raíz.
• Los elementos del árbol deben ser tales que pueda existir un orden dentro del mismo.
• Todos los elementos del subárbol izquierdo son menor o igual al valor del nodo padre.
• Todos los elementos del subárbol derecho son mayores que el valor del nodo padre.

Un árbol binario de búsqueda es una especialización de los árboles binarios.

Ejemplo de árbol binario de búsqueda

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